Βρείτε τον αριθμό των τριγώνων που βρίσκονται στο σχήμα ;

Βρείτε τον αριθμό των τριγώνων που βρίσκονται στο παρακάτω σχήμα :

Α:16  Β:13  Γ:9  Δ:7

ΑΠΆΝΤΗΣΗ

Τι γνωρίζετε για το παράδοξο της ταυτότητας ;Πως ορίζουμε τελικά τον ευατό μας

Η φυσική σου ύπαρξη αποτελείται από τρισεκατομμύρια κύτταρα που συνεχώς πεθαίνουν και γεννιούνται. Σε ένα διάστημα περίπου 10 ετών η πλειοψηφία των κυττάρων στο σώμα σου έχει ανανεωθεί. Και όμως, σχεδόν μαγικά, παραμένεις… εσύ. Ένα από τα λίγα πράγματα που γνωρίζεις με σιγουριά είναι πως υπάρχεις. Ποιος είσαι λοιπόν;

'Άσκηση στις ανισότητες μαθηματικά λυκείου

Η παρακάτω ανισότητα μπορεί να λυθεί  με δύο τουλάχιστον τρόπους .

    2¹⁰ >10²

Στείλτε μας τις λύσεις σας ή αν χρειαστείτε βοήθεια τις απορίες σας.

Μαθηματικό τρικ που υπολογίζει τα ποσοστά

Το να υπολογίζουμε ποσοστά μπορεί να γίνει ένας εφιάλτης - ειδικά αν δεν έχουμε μια αριθμομηχανή.

Αλλά τώρα, υπάρχει ένας μαθηματικός τύπος που έχει προκαλέσει «φρενίτιδα» στο twitter, αφού μοιράζεται έναν απλό τρόπο επεξεργασίας πολύπλοκων ποσών.

Μας το σύστησε ο αυτοαποκαλούμενος "Μάγος των αθηματικών", Ben Stephens.

Το εντυπωσιακό μικρό hack, για να βγάζετε ποσοστά έχει ως εξής:

x% of y = y% of x

Oπότε, αν για παράδειγμα πρέπει να κάνετε το 4% του 75 στο μυαλό σας, γυρίστε το ανάποδα και κάντε το 75% του 4 που είναι ευκολότερο.

Στο πολύ απλό παράδειγμα του Stephen μπορούμε πολύ εύκολα να υπολογίσουμε ότι το 75% του 4 είναι 3. Και είναι απείρως ευκολότερο από τον υπολογισμό του 4% του 75.

Αντιστοίχως, το 18% του 50 είναι δύσκολο να υπολογιστεί, ενώ το 50% του 18 είναι πολύ εύκολο.

Το tweet έλαβε πολλές απαντήσεις, κυρίως από ανθρώπους που δυσκολεύονται στα μαθηματικά, αλλά και από επιστήμονες των μαθηματικών που δεν γνώριζαν και δεν είχαν σκεφτεί το συγκεκριμένο hack.

Μάλιστα, έχει λάβει 11.600 likes και 4.000 retweets!

Φυσικά, υπάρχουν ακόμα ποσοστά τα οποία θα αποτελούν πρόβλημα, αλλά για όσους έχουν δυσκολευτεί και με απλούστερα ποσοστά, αυτό το τρικ θα δώσει τη λύση.

Ben Stephens@stephens_ben

Fascinating little life hack, for doing percentages:

x% of y = y% of x

So, for example, if you needed to work out 4% of 75 in your head, just flip it and and do 75% of 4, which is easier.

22 χιλ.

1:21 μ.μ. - 3 Μαρ 2019

Πληροφορίες και απόρρητο για τις Διαφημίσεις του Twitter

8.876 άτομα συζητούν σχετικά με αυτό

ΠΗΓΉ

Πώς ένα ιατρικό τεστ σε δείχνει ασθενή ενώ είσαι υγιής

Μπορεί η λέξη θετικό να έχει μια ευχάριστη ερμηνεία για το 99% των καταστάσεων που προσδιορίζει, όταν όμως χρησιμοποιείται για να χαρακτηρίσει ένα ιατρικό τεστ τότε τα νέα που ακολουθούν συνήθως δεν είναι καθόλου ευχάριστα. Και αυτό διότι θετικό τεστ, σημαίνει ότι νοσείς από αυτό για το οποίο εξετάστηκες. 

Το παρηγορητικό της υπόθεσης εδώ είναι ότι αρκετές φορές αυτά τα τεστ δεν είναι ακριβή. Όχι επειδή δεν είναι σωστά σχεδιασμένα, αλλά επειδή, όσο και αν φαίνεται αρχικά περίεργο, η ακρίβεια ενός ατομικού διαγνωστικού τεστ επηρεάζεται κατά πολύ  από την συχνότητα με την οποία εμφανίζεται μια ασθένεια σε έναν συγκεκριμένο πληθυσμό.

Ευαισθησία και ειδικότητα

Υπάρχουν δύο βασικοί παράγοντες που καθορίζουν την αξιοπιστία ενός ιατρικού τεστ: Η ευαισθησία και η ειδικότητα. Και τα δυο είναι πιθανότητες, δηλαδή μεγέθη εκφρασμένα σε ποσοστά επί τοις εκατό. Σαν «ευαισθησία» ορίζεται η πιθανότητα να βγει ένα τεστ θετικό όταν ο εξεταζόμενος είναι πράγματι ασθενής ενώ σαν «ειδικότητα» η πιθανότητα να βγει ένα τεστ αρνητικό όταν ο εξεταζόμενος είναι υγιής. Και οι δύο αυτές πιθανότητες συνήθως έχουν αρκετά υψηλά ποσοστά εμφάνισης, πολλές φορές πάνω από 90 ή ακόμη και 95%. 

Και φυσικά, το εκάστοτε 95% της «ευαισθησίας» κρύβει ένα 5% αντίστοιχα που σημαίνει ότι: Το τεστ 5 στις 100 φορές δείχνει αρνητικό ενώ ο εξεταζόμενος έχει την ασθένεια. Αυτό χαρακτηρίζεται σαν «ψευδώς αρνητικό», και είναι μία περίπτωση λανθασμένης διάγνωσης. Όπως παρόμοια περίπτωση είναι και εκείνη του «ψευδός θετικού» τεστ, δηλαδή ενός τεστ που διαγιγνώσκει σαν ασθενή ένα υγιές άτομο. 

Το ερώτημα πάντως που προκύπτει τις περισσότερες φορές, και αυτό που έχει την πραγματική σημασία κατόπιν της εκτέλεσης ενός διαγνωστικού τεστ, είναι κατά πόσο θεωρείται πιθανό κάποιος να έχει την ασθένεια όταν το τεστ του βγει θετικό. Η απάντηση εδώ προφανώς και δεν είναι πάντα. 

Διότι τόσο η ευαισθησία όσο και η ειδικότητα αναφέρονται εξ’ορισμού σε εξετάσεις ατόμων που γνωρίζουμε εξαρχής αν είναι υγιείς ή όχι. Η «ευαισθησία», για παράδειγμα, δείχνει την πιθανότητα να βγει ένα τεστ θετικό σε ένα άνθρωπο που είναι όντως ασθενής. Δηλαδή, αν υποθέσουμε ότι η ευαισθησία ενός τεστ είναι 90% και υποβληθούν σε αυτό 100 άτομα που νοσούν, τότε αναμένουμε οι 90 περίπου να έχουν θετικό τεστ και οι 10 αρνητικό. 

Η ευαισθησία λοιπόν μετράει την πιθανότητα διάγνωσης της ασθένειας σε κάποιον ασθενή. Μα αν κάποιος ξέρει ότι είναι ασθενής, ποιος ο λόγος να διαγνωστεί; Προφανώς κανένας. Όλη η ουσία λοιπόν βρίσκεται στην εύρεση της πιθανότητας κάποιος να είναι ασθενής όταν το τεστ του βγαίνει θετικό. Και μπορεί η ευαισθησία με την ειδικότητα να μην βοηθούν άμεσα να απαντηθεί αυτό, έμμεσα όμως το κάνουν.

Το παράδειγμα του σπάνιου ιού

Ένας ιός εμφανίζεται στο 0,1% (1 στους 1.000) των κατοίκων της Ελλάδας. Για χάρη ευκολίας των πράξεων υποθέτουμε ότι ο πληθυσμός της χώρας είναι ακριβώς 10 εκατομμύρια, οπότε το σύνολο των ανθρώπων που είναι φορείς του ιού ανέρχεται στις 10.000.

Ο εντοπισμός του ιού στον ανθρώπινο οργανισμό γίνεται με ένα διαγνωστικό τεστ που έχει ευαισθησία 99% και ειδικότητα 98%. Όπως γίνεται κατανοητό, τα ποσοστά σε αυτές τις δύο παραμέτρους αναμένεται να δώσουν αρκετά ακριβή αποτελέσματα. Συμβολίζοντας με P τις πιθανότητες, προκύπτουν τα παρακάτω:

«Ευαισθησία»=P(Test+|ασθενής άνθρωπος)= «πιθανότητα το τεστ να βγει θετικό όταν ο άνθρωπος είναι ασθενής»=99%
«Ψευδώς Αρνητικό»=P(Test-|ασθενής άνθρωπος)= «πιθανότητα το τετ να βγει αρνητικό όταν ο άνθρωπος είναι ασθενής»=1%
«Ειδικότητα»=P(Test-|υγιής άνθρωπος)= «η πιθανότητα το τεστ να βγει αρνητικό όταν ο άνθρωπος είναι υγιής»=98%
«Ψευδώς θετικό»=P(Test+|υγιής άνθρωπος)= «η πιθανότητα το τεστ να βγει θετικό όταν ο άνθρωπος είναι υγιής»=2%

Αφού το 0,001 του πληθυσμού είναι φορείς του ιού, συνεπάγεται ότι 
0,001⦁10.000.000= 10.000 είναι ασθενείς και
0,999⦁10.000.000= 9.990.000 είναι υγιείς.

Το πρόβλημα συνοψίζεται με αριθμούς στον παρακάτω πίνακα:

	Όταν κάποιος είναι υγιής	Όταν κάποιος είναι ασθενής	Σύνολο
Test +	(0,02⦁9.990.000) =199.800  (ψευδώς θετικό)	(0,99⦁10.000) =9.900 (ευαισθησία)	209.700 (Σύνολο θετικών τεστ)
Test -	(0,98⦁9.990.000) =9.790.200 (ειδικότητα)	(0,01⦁10.000) =100 (ψευδώς αρνητικό)	9.790.300(Σύνολο αρνητικών τεστ)
Σύνολο	9.990.000 (Σύνολο υγιων ανθώπων)	10.000(Σύνολο ασθενών ανθρώπων)	10.000.000

Η πιθανότητα λοιπόν κάποιος να είναι όντως ασθενής όταν το τεστ του βγει θετικό θα είναι ο λόγος 
10.000(πλήθος ασθενών) / 209.700(σύνολο θετικών τεστ) το οποίο ισούται περίπου με 0,04, δηλαδή 4%! Μόνο! 

Σε ένα διαγνωστικό τεστ με τεράστια ποσοστά ακρίβειας παρατηρείται το παράλογο κάποιος με θετικό τεστ να έχει πιθανότητα μόλις 4% να είναι όντως φορέας αυτού του ιού. Γιατί συμβαίνει αυτό;

Επειδή σε μια τόσο σπάνια ασθένεια, η πλειοψηφία των θετικών προέρχεται περισσότερο από λανθασμένη διάγνωση του τεστ παρά από την εμφάνιση του ιού στους ανθρώπους. Οπότε όσο πιο σπάνιο είναι αυτό για το οποίο εξετάζεται κάποιος, τόσο λιγότερες είναι οι πιθανότητες να νοσεί από αυτό ακόμη και αν το τεστ που έχει κάνει έχει βγει θετικό. 

Βέβαια όσο η συχνότητα μιας ασθένειας ανεβαίνει, τόσο ανεβαίνει και το ποσοστό ακρίβειας ενός θετικού τεστ. Για παράδειγμα, αν σε έναν ιό είναι φορείς το 20 % του πληθυσμού και κάποιος βγάλει θετικό τεστ ως προς αυτόν τον ιό και με τις παραπάνω συνθήκες ευαισθησίας και ειδικότητας, τότε η πιθανότητα να είναι και αυτός φορέας είναι πλέον 93%!

Το θεώρημα του Bayes

Συνοψίζοντας και γενικεύοντας τα παραπάνω, προκύπτει  ένας τύπος που βασίζεται στο θεώρημα του Βayes και δίνει απάντηση σε κάθε μία από τις περιπτώσεις σαν αυτή που εξετάστηκε προηγουμένως. Αυτά που χρειάζονται να είναι γνωστά είναι η συχνότητα μιας ασθένειας στον πληθυσμό στον οποίο ανήκει το άτομο που εξετάζεται, καθώς και η ευαισθησία με την ειδικότητα του διαγνωστικού τεστ.

Προς ευκολία συμβολισμού, ορίζονται τα παρακάτω ενδεχόμενα και οι αντίστοιχες πιθανότητες:

Ενδεχόμενο Α: Το άτομο πάσχει από την ασθένεια
Ενδεχόμενο Α’: Το άτομο είναι υγιές
Ενδεχόμενο Β: Το τεστ είναι θετικό
Ενδεχόμενο Β’: Το τεστ είναι αρνητικό

P(A) = Πιθανότητα ένα άτομο να είναι ασθενής (Συχνότητα ασθένειας στον πληθυσμό)
P(A’) = Πιθανότητα ένα άτομο να είναι υγιές
P(B|A) = Πιθανότητα ένα ασθενές άτομο να βγάλει θετικό τεστ (ευαισθησία)
P(B’|A’) = Πιθανότητα ένα υγιές άτομο να βγάλει αρνητικό τεστ (ειδικότητα)

Και ισχύει λόγω συμπληρωματικών ενδεχομένων ότι
1-P(B’|A’) = P(B|A’) όπου 
P(B|A’) = Πιθανότητα ένα υγιές άτομο να βγάλει θετικό τεστ (ψευδώς θετικό)

Τότε η πιθανότητα P(A|B) ένα άτομο να είναι ασθενής όταν του τεστ του έχει βγει θετικό είναι:

P(B|A)⦁P(A) P(B|A)⦁P(A) + P(B|A’)⦁P(A’)

ΠΗΓΗ

Επαναληπτικό θέμα στα όρια και στις παραγώγους μαθηματικά γ λυκείου προσανατολισμού

Το παρακάτω επαναληπτικό θέμα  έχει στόχο την εμπέδωση στα όρια ,παραγώγους και στην αλλαγή μεταβλητής :

Γενικές ασκήσεις στα ολοκληρώματα για τη γ λυκείου προσανατοισμού

Στο παρακάτω φυλλάδιο του Νίκου Σκομπρή υπάρχουν αρκετές ασκήσεις στα ολοκληρώματα που μερικές δεν είναι μέσα στην φετινή ύλη.
Το φυλλάδιο όμως έχει αρκετές ασκήσεις και είναι δομημένο ανά κατηγορία ασκήσεων χρήσιμο για μια επανάληψη και εμπέδωση της ύλης.

Για να το κατεβάσετε πατήστε εδώ